题目内容
18．设a，b∈Z，求证：关于x的一元二次方程x2+5ax+10b+3=0没有整数根．分析 假设关于x的一元二次方程x2+5ax+10b+3=0有整数根，根据x2除以5后余数只能为：0，1，4，则x2-2除以5后余数只能为：3，4，2，进而得到x2+5ax+10b+3除以5后余数只能为：3，4，2，从而得到与已知矛盾．
解答 解：假设关于x的一元二次方程x2+5ax+10b+3=0有整数根，
由x为整数，可得x2除以5后余数只能为：0，1，4，
则x2-2除以5后余数只能为：3，4，2，
则在x2+5ax+10b+3=x2-2+5ax+10b+3+2中5ax+10b+3+2为5的倍数，
故x2+5ax+10b+3=x2-2+5ax+10b+3+2除以5后余数只能为：3，4，2，
这与x2+5ax+10b+3=0矛盾，
故假设不成立，
即关于x的一元二次方程x2+5ax+10b+3=0没有整数根．
点评 本题考查的知识点是整除的基本性质，反证法，本题转化比较困难，属于中档题．
练习册系列答案
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如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点，AB=$\frac{1}{2}$AD=1．