Question

圆上一点A(4，6)作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）设点P关于点D(9，0)的对称点为E，O为坐标原点，将线段OP绕原点O依逆时针方向旋转90°后，所得线段为OF，求|EF|的取值范围.

Answer 1

（1）(x≠4，y≠6)（2）

解析:

（Ⅰ）连结PC，由垂径分弦定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆(除去点A).                                                                    

因为点A(4，6)，C(6，4)，则其中点坐标为(5，5)，又圆半径.

故点P的轨迹方程是(x≠4，y≠6).                        

（Ⅱ）因为点P、E关于点D(9，0)对称，设点，则点.         

设点，因为线段OF由OP绕原点逆时针旋转得到，

则OF⊥OP，且|OF|＝|OP|，即

，且.

由，得.令，

则，所以t＝1.

因此点F的坐标为.                                       

所以.

设点M(9，－9)，则.                                        

因为点P为圆上的点，设圆心为N(5，5)，则

，

.                                          

故|EF|的取值范围是.