Question

过圆C：（x-6）²+（y-4）²=8上一点A（4，6）作圆的一条动弦AB，点P为弦AB的中点．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P关于x=1的对称点为E，关于y=x的对称点为F，求|EF|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接PC，由垂径定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆（除去点A），求出AC中点C₁坐标，圆半径，即可求得点P的轨迹方程；                  
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），求出点E（2-x₀，y₀），点F（y₀，x₀），得到关系式，设点M（1，1），则|EF|=

2

|PM|，利用|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r，即可求得|EF|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）连接PC，由垂径定理知，PC⊥AB，所以点P的轨迹是以线段AC为直径的圆（除去点A）．
因为点A（4，6），C（6，4），则AC中点C₁坐标为（5，5），又圆半径r=

|AC|

2

=

2

．
故点P的轨迹方程是（x-5）²+（y-5）²=2 （x≠4，y≠6）．（4分）                        
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），
因为点P、E关于x=1对称，则点E（2-x₀，y₀） 
因为P、F关于y=x对称，则点F（y₀，x₀） （6分）                                         
所以|EF|=

(2-x0-y0)2+(y0-x0)2

=

2

(x0-1)2+(y0-1)2

 
设点M（1，1），则|EF|=

2

|PM|
∵|MC₁|-r≤|PM|≤|MC₁|+r
∴3

2

≤|PM|≤5

2

，
∴6≤|EF|≤10（12分）

点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查圆的性质，解题的关键是充分利用圆的性质，属于中档题．