Question

已知函数f（x）满足f(x)+1=

1

f(x+1)

，当x∈[0，1]，f（x）=x，若在区间（-1，1]内g（x）=f（x）-mx-m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A．0≤m＜

  1

  2

• B．-

  1

  3

  ≤m＜

  1

  3

• C．0≤m＜

  1

  3

• D．0＜m≤

  1

  2

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-mx-m=0，即有f（x）=mx+m，在同一坐标系内画出y=f（x），y=mx+m的图象，转化为图象有两个不同的交点的条件．

解答：解：当x∈（-1，0]时，x+1∈（0，1]，f(x)=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1=

-x

x+1

在同一坐标系内画出y=f（x），y=mx+m的图象．

动直线y=mx+m过定点（-1，0），当再过（1，1）时，斜率m=

1

2

，
由图象可知当0＜m≤

1

2

时，两图象有两个不同的交点，从而g（x）=f（x）-mx-m有两个不同的零点，
故选D

点评：本题考查函数零点的意义及个数求解．函数与方程的思想．利用函数的图象可以加强直观性，本题先由已知条件转化为判断两函数图象交点个数，再利用函数图象解决．