Question

设f(x)＝lg，如果当x∈(－∞，1)时f(x)有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：由题设可知，不等式1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立， 　　即：()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立 　　设t＝()，则t≥， 　　又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－ 　　∴t＋t＋a＝0在[，＋∞)上无实根， 　　即g()＝()＋＋a＞0，得a＞－ 　　所以a的取值范围是a＞－． 　　分析：将当x∈(－∞，1)时f(x)＝lg有意义的函数问题转化为1＋2＋4a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的不等式问题． 　　说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数，利用函数的图像和单调性解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化． 　　在解决不等式()＋()＋a＞0在x∈(－∞，1)上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”：设t＝()，t≥，则有a＞－t－t∈，所以a的取值范围是a＞－．其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”．