Question

19．设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，数列{b_n}满足：对任意的正整数n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若集合M={n|$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的个数为4，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，可得数列{a_n}的通项公式；n=1时，b₁，当n≥2时由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2，两式相减可求；
（2）可对n=1，2，3，4，5进行分析求出λ的取值范围，研究当n≥6时，不等式恒成立转化为求函数的最值，从而求出λ的取值范围，根据集合M中的元素个数为4，确定λ的取值范围．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₂=4，a₁a₄=32，
∴a₁q=4，a₁a₁q³=32
∴a₁=2，q=2，
∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
当n=1时，a₁b₁=（1-1）•2¹+2得b₁=1
当n≥2时由a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2①
得a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2②
①-②得a_nb_n=n•2ⁿ即b_n=n，
当n=1时也满足条件，∴b_n=n；
（2）$\frac{{b}_{n}{b}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
n=1，λ≤1；n=2，λ≤$\frac{3}{2}$；n=3，λ≤$\frac{3}{2}$；n=4，λ≤$\frac{5}{4}$；n=5，λ≤$\frac{15}{16}$
若n≥6时，λ≤$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$恒成立，
令f（n）=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，则当x≥6时，f（n）≥$\frac{21}{32}$，
∴λ≤$\frac{21}{32}$．
∵集合M中的元素个数为4，
∴$\frac{15}{16}$＜λ≤1．

点评 本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题中要注意对n=1的检验不要漏掉，还要注意等比数列的通项公式的应用．