Question

已知定义在上的函数，其中为常数.
（1）当是函数的一个极值点，求的值；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，若，在处取得最大值，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）；（3） .

试题分析：(1) 本小题首先由可得，因为是是函数的一个极值点，所以；
(2) 本小题首先利用导数的公式和法则求得，根据函数在区间上是增函数，讨论参数的不同取值对单调性的影响；
（3）本小题首先求得，然后求得导数，然后讨论单调性，求最值即可.
试题解析：（1）由可得
因为是是函数的一个极值点，
所以
（2）①当时，在区间上是增函数，
所以符合题意
②当时，，令
当时，对任意的，，所以符合题意
当时，时，，所以，即符合题意
综上所述，实数的取值范围为
（3）当时，
所以
令，即
显然
设方程的两个实根分别为，则
不妨设
当时，为极小值
所以在上的最大值只能是或
当时，由于在上是递减函数，所以最大值为
所以在上的最大值只能是或
由已知在处取得最大值，所以
即，解得
又因为，所以实数的取值范围为