Question

已知函数f（x）=mx³-2x²+m²x+5（m∈R）且f（x）在x=1处取得极小值．
（1）求m的值．
（2）若g（x）=f（x）-λ（x²+2x）在（-1，+∞）上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=mx³-2x²+m²x+5（m∈R）且f（x）在x=1处取得极小值，可得f'（1）=0，解方程求出m值，代入验证是否满足条件，即可得到结论；
（2）若g（x）=f（x）-λ（x²+2x）在（-1，+∞）上是增函数，则g′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，进而构造不等式可得结论．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-4x+m²
∵f（x）在x=1处取得极小值
∴f'（1）=m²+3m-4=0得m=1或m=-4
当m=1时   
f'（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1）
∴f（x）在(-∞，

1

3

)，(1，+∞)上是增函数在(

1

3

，1)上是减函数
∴f（x）在x=1处取得极小值
当m=-4时 f'（x）=-12x²-4x+16=-4（x-1）（3x+4）
∴f（x）在(-∞，-

4

3

)（1，+∞）上是减函数 在(-

4

3

，1)上是增函数
∴f（x）在x=1处取得极大值极大值，不符题意
∴m=1（6分）
（2）∵m=1
∴g（x）=x³-2x²+x+5-λ（x²+2x）
∴g'（x）=3x²-4x+1-λ（2x+2）
∵g（x）在（-1，+∞）上是增函数，
∴不等式3x²-4x+1-λ（2x+2）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立
即λ≤

3x2-4x+1

2x+2

，x∈(-1，+∞)恒成立
令h(x)=

3x2-4x+1

2x+2

=

3(x+1)2-10(x+1)+8

2(x+1)

=

1

2

[3(x+1)+

8

x+1

]-5≥

1

2

•2

24

-5=2

6

-5当x=

2 6

3

-1时等号成立
∴λ≤2

6

-5（15分）

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，是导数问题的综合应用，难度中档．