Question

设集合A={1，2，…，n}，B={n+1，n+2，…，2n}，（n∈N^*且n≥2），现将集合A和B分别作为总体，从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本，记P_ij表示元素i和j同时出现在样本中的概率．当1≤i≤n≤j≤2n时，P_ij=

4

n2

；当1≤i＜j≤2n，且i、j不在同一总体中时，所有P_ij的和为

4

．

Answer 1

分析：由组合知识及分步乘法计数原理求出从两个总体中各随机抽取2个元素构成样本的样本容量，把i和j看作两个特定的元素，然后再从两个总体中各任取1个元素得到元素i和j同时出现在样本中的抽法，最后利用古典概型概率计算公式求解；当1≤i＜j≤2n，且i、j不在同一总体中时，所有P_ij的和可这样理解：i可以是A中的1到n共n个元素，j也可以是B中的n+1到2n共n个元素，共有n•n=n²个元素i和j同时出现在样本中的情况，求得概率．

解答：解：从总体A中随机抽取2个元素，有

C

2 n

种不同的抽法，
从总体B中随机抽取2个元素，有

C

2 n

种不同的抽法，
∴从这两个总体中各随机抽取2个元素构成样本，样本容量为：

C

2 n

•

C

2 n

．
元素i在样本中的抽法有

C

1 n-1

种，元素j在样本中的抽法有

C

1 n-1

种，
∴元素i和j同时出现在样本中的抽法共有

C

1 n-1

•

C

1 n-1

种．
由古典概型概率公式得，元素i和j同时出现在样本中的概率P_ij=

C 1 n-1 • C 1 n-1

C 2 n • C 2 n

=

4

n2

；
∵i可以是集合A中的任意一个元素，j可以是集合B中的任意一个元素，
∴满足1≤i＜j≤2n的所有P_ij的和为n•n•

4

n2

=4．
故答案为：

4

n2

；4．

点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是对题意的理解，属中档题．