Question

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线BD的方程为，，△=-8b²+64＞0，设d为点A到直线BD：的距离，由，故，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．
（Ⅲ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，则k_AD+k_AB==，由此能导出即k_AD+k_AB=0．
解答：解：（Ⅰ）∵，，a²=b²+c²
∴a=2，，∴（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为∴∴△=-8b²+64＞0，①②∵，
设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，
当且仅当b=±2时取等号．
因为±2，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（10分）
（Ⅲ）设D（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线AB、AD的斜率分别为：k_AB、k_AD，
则k_AD+k_AB==*
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，
即k_AD+k_AB=0（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．