Question

7．函数f（x）=|x-a+1|•ln（x+1），若对区间[1，2]上任意两个数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则实数a的取值范围是3≤a≤2+2ln2．

Answer 1

分析 对区间[1，2]上任意两个数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，函数在区间[1，2]上是减函数，a必须≥3，换元，分离参数，求最小值，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵对区间[1，2]上任意两个数x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函数在区间[1，2]上是减函数，∴必须a≥3，
令t=x+1．则f（t）=（a-t）lnt，t∈[2，3]，
求导，f′（t）=-lnt+$\frac{a-t}{t}$≤0，即a≤t+t•lnt，
设g（x）=t+t•lnt，显然g（x）是单调增函数，
∴只要令a≤g（x）_min=g（2）=2+2ln2，
综上所述，3≤a≤2+2ln2．
故答案为：3≤a≤2+2ln2．

点评 本题考查求实数a的取值范围，考查导数知识的运用，正确求导数是关键．