Question

椭圆mx²+ny²=1与直线y=1-x交于M、N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为

2

2

，则

m

n

的值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2 2

  3

• C．

  9 2

  2

• D．

  2 3

  27

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点P（x₀，y₀）．利用“点差法”即可得到m(

x

2 1

-

x

2 2

)+n(

y

2 1

-

y

2 2

)=0．又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，

y1-y2

x1-x2

=-1，kOP=

y0

x0

=

2

2

．即可得出．

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN中点P（x₀，y₀）．
由m

x

2 1

+n

y

2 1

=1，m

x

2 2

+n

y

2 2

=1，两式相减得m(

x

2 1

-

x

2 2

)+n(

y

2 1

-

y

2 2

)=0．
又x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，

y1-y2

x1-x2

=-1，
∴mx₀-ny₀=0，
∵kOP=

y0

x0

=

2

2

．
∴

m

n

=

y0

x0

=

2

2

．
故选A．

点评：本题中考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．