Question

椭圆mx²+ny²=1与直线x+y-1=0相交于A，B两点，过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为

2

2

，则

m

n

的值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  2 3

  3

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：（法一）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）由KOP=

y0

x0

=

2

2

①，

y2-y1

x2-x1

=-1②及M，N在椭圆上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

利用点差法进行求解
（法二）M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），联立方程

mx2+ny2=1 x+y-1=0

．，利用方程的根与系数的关系可求x₁+x₂，进而可求y₁+y₂=2-（x₁+x₂），由中点坐标公式可得，x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，由题意可知

y0

x0

=

m m+n

n m+n

，从而可求

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
∴KOP=

y0

x0

=

2

2

①，
k_MN=

y2-y1

x2-x1

=-1②，
由AB 的中点为M可得x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀
由M，N在椭圆上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

，
两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①②代入③可得m（x₁-x₂）•2x₀-n（x₁-x₂）•2y₀=0③，
整理可得

m

n

=

2

2

故选A
（法二）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
联立方程

mx2+ny2=1 x+y-1=0

可得（m+n）x²-2nx++n-1=0
∴x₁+x₂=

2n

m+n

，y₁+y₂=2-（x₁+x₂）=

2m

m+n

由中点坐标公式可得，x0=

x1+x2

2

=

n

m+n

，y0=

y1+y2

2

=

m

m+n

∵M与坐标原点的直线的斜率为

2

2

∴

y0

x0

=

m m+n

n m+n

=

m

n

=

2

2

故选A

点评：题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解；②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用