Question

（2013•温州二模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2．且1，

3

4

a_n，S_n（n∈N^*）成等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式
（II）求数列{na_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，

3

2

an=sn+1，利用a_n=s_n-s_n-1可得a_n与a_n-1之间的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a_n．
（II）由（I）可得nan=2n•3n-1，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和即可

解答：（I）证明：∵1，

3

4

a_n，S_n成等差数列
∴

3

2

an=sn+1，…（2分）
∴

3

2

an-1=sn-1+1，n≥2
∴

3

2

an-

3

2

an-1=an
∴a_n=3a_n-1，n≥2
又a₁=2
∴数列{a_n}是一个首项为2公比为3的等比数列…（6分）
∴an=2•3n-1   …（7分）
（II）解：∵nan=2n•3n-1
∴Tn=2+4•3+6•32+…+(2n-1)•3n-2+2n•3^n-1       ①
3T_n=2•3+4•3²+…+（2n-2）•3^n-1+2n•3ⁿ   ②…（10分）
①-②得：
-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ=

2(1-3n)

1-3

-2n•3n
=3ⁿ-1-2n•3ⁿ
∴Tn=

(2n-1)•3n+1

2

       …（14分）

点评：本题主要考查等差数列的性质及等比数列的通项公式的应用及数列的错位相减求和方法的应用．