Question

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x²+3y²=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求边AB中点的轨迹方程；
（2）当AB边通过坐标原点O时，求△ABC的面积；
（3）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）设AB所在直线的方程为y=x+m，将它代入椭圆方程消去y得到一个关于x的二元方程，再利用中点坐标公式结合根与系数的关系即可得边AB中点的轨迹方程；
（2）欲求△ABC的面积，只须求出边AB的长及高即可，利用（1）中的关于x的二元方程结合弦长公式可求得AB，又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，可求得三角形的高，从而求得面积；
（3）因∠ABC=90°，由勾股定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²其中|AB|可求（1）中的方程结合弦长公式可求得，又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离也可距离公式求出，表示出斜边AC的长后利用函数的最值求出其最大即可．

解答：解：（1）设AB所在直线的方程为y=x+m
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．（2分）
因为A、B在椭圆上，所以△=-12m²+64＞0.-

4 3

3

＜m＜

4 3

3

设A、B两点坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），中点为P（x₀，y₀）
则x1+x2=-

3m

2

，m=-

4

3

x0，y0=x0-

4

3

x0=-

1

3

x0
所以中点轨迹方程为y=-

1

3

x(-

3

＜x＜

3

，且x≠-

3

2

)（4分）

（2）∵AB∥l，且AB边通过点（0，0），故AB所在直线的方程为y=x．
此时m=0，由（1）可得x=±1，所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

（6分）
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=

2

（8分）
S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．（10分）

（3）由（1）得x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．（12分）
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=

|2-m|

2

．（14分）
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．（16分）

点评：本题主要考查了直线的一般式方程、轨迹方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．