Question

设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线围成的面积为b，若g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是________．

Answer 1

[0，+∞）
分析：由题意，先用定积分求出b，再由g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，利用其导数在[1，+∞）上恒小于0建立不等式求出实数k的取值范围．
解答：由题意b=2cos2xd_x=sin2x=sin=
∴g（x）=2lnx-x²-kx
∴g′（x）=
∵g（x）=2lnx-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，
∴g′（x）=＜0在[1，+∞）上恒成立
即在[1，+∞）上恒成立
∵在[1，+∞）上递减，
∴
∴k≥0
由此知实数k的取值范围是[0，+∞）
故答案为：[0，+∞）．
点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用定积分求出b，再利用导数与单调性的关系将函数递减转化为导数值恒负，由此不等式恒成立求出参数的范围，本题综合性很强，需要多次转化变形，运算量较大，解题时一定要注意变形正确，运算严谨，避免因变形，运算出错．