Question

设曲线y=2cos2x与x轴、y轴、直线x=

π

12

围成图形的面积为b，若g（x）=ln（2x+1）-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，则实数k的取值范围是

[-

4

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：先用定积分求出b，再由g（x）=ln（2x+1）-2bx²-kx在[1，+∞）上单调递减，利用其导数在[1，+∞）上恒小于等于0建立不等式，从而可求出实数k的取值范围．

解答：解：由题意b=

∫

π 12 0

2cos2xd_x=sin2x

|

π 12 0

=sin

π

6

=

1

2

，
∴g（x）=ln（2x+1）-x²-kx，
∴g′（x）=

2

2x+1

-2x-k，
∵g（x）=ln（2x+1）-x²-kx在[1，+∞）上单调递减，
∴g′（x）=

2

2x+1

-2x-k≤0在[1，+∞）上恒成立
即k≥

2

2x+1

-2x在[1，+∞）上恒成立
∵

2

2x+1

-2x在[1，+∞）上递减，
∴

2

2x+1

-2x的最大值为-

4

3

，
∴k≥-

4

3

，
由此知实数k的取值范围是[-

4

3

，+∞）
故答案为：[-

4

3

，+∞)．

点评：本题考查定积分在求面积中的应用，解题的关键是利用定积分求出b，再利用导数与单调性的关系将函数递减转化为导数值恒负，由此不等式恒成立求出参数的范围，本题综合性很强，需要多次转化变形，运算量较大，解题时一定要注意变形正确，运算严谨，避免因变形，运算出错．属于中档题．