Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为且过点(4，)．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

答案：
解析：

解析：由双曲线的离心率为，即， 　　则＝2，∴a＝b， 　　即双曲线为等轴双曲线． 　　可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 　　由于双曲线过点(4，)， 　　则42－()2＝λ． 　　∴λ＝6，∴双曲线方程为＝1． 　　(2)证明：由(1)可得F1、F2的坐标分别为(，0)、(，0)，M、N的坐标分别为(3，)、(3，－)， 　　∴，．故＝－1， 　　∴F1M⊥F2M． 　　点评：(1)离心率给定的问题应先研究a、b的关系，简化方程的字母个数． 　　(2)λ≠0时，方程x2－y2＝λ既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线．