题目内容
已知函数y=| 10x-1 | 10x+1 |
（1）写出函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试证明函数在定义域内是增函数．
分析：（1）根据函数的解析式，我们易求出使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，即函数的定义域；
（2）判断f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性；
（3）利用作差法，构造出f（x1）-f（x2）的表达式，再利用指数函数的值域、单调性等易判断其符号，进而判断出f（x1）与f（x2）的大小，结合函数单调性的定义即可得到函数的单调性．
（2）判断f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义，即可判断函数的奇偶性；
（3）利用作差法，构造出f（x1）-f（x2）的表达式，再利用指数函数的值域、单调性等易判断其符号，进而判断出f（x1）与f（x2）的大小，结合函数单调性的定义即可得到函数的单调性．
解答：解：（1）∵10x+1＞0恒成立
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）=
=
=-f（x）
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
-
=
＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在定义域内是增函数．
∴函数的定义域R
（2）∵f（-x）=
| 10-x-1 |
| 10-x+1 |
| 1-10x |
| 1+10x |
∴f（x）是奇函数
（3）设任意两个变量x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
| 10x1-1 |
| 10x1+1 |
| 10x2-1 |
| 10x2+1 |
| 2(10x1-10x2) |
| (10x1+1)•(10x2+1) |
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在定义域内是增函数．
点评：本题考查的知识点是函数的定义域的求法，函数奇偶性的判断与函数单调性的判断及指数函数的值域和单调性，熟练掌握函数的各种性质及判断方法是解答本题的关键．
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