Question

（2012•湖北模拟）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=

2

AB，E为线段PD上一点．
（1）当E为PD的中点时，求证：BD⊥CE；
（2）是否存在E使二面角E-AC-D为30°？若存在，求

PE

ED

，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）不妨设AB=

2

，则PA=AD=2，取AD的中点F，连EF，CF，则△BCD∽△CDF，从而可证BD⊥CF，根据EF∥PA，PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，从而可证BD⊥CE；
（1）作EG⊥AD于G，过G作GH⊥AC于H，连EH，则∠EHG为二面角E-AC-D的平面角，设EG=x，则DG=x，可求HG=

2-x

3

，利用二面角E-AC-D为30°，可知存在点E满足条件，且

PE

ED

=3

解答：（1）证明：不妨设AB=

2

，则PA=AD=2，取AD的中点F，连EF，CF．
则△BCD∽△CDF，∴∠DBC=∠DCF
∴∠DBC+∠BCF=∠DCF+∠BCF=90°
∴BD⊥CF
又EF∥PA，PA⊥平面ABCD
∴EF⊥平面ABCD
故由三垂线定理知BD⊥CE（5分）
（2）作EG⊥AD于G，过G作GH⊥AC于H，连EH，
则EH⊥AC，所以∠EHG为二面角E-AC-D的平面角．
设EG=x，则DG=x，
∴AG=2-x，又

HG

CD

=

AG

AC

，
∴

HG

2

=

2-x

6

，∴HG=

2-x

3

，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

3 x

2-x

=

3

3

，∴x=

1

2

，
所以存在点E满足条件，且

PE

ED

=3（7分）

点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查存在性问题，解题的关键是利用三垂线定理，正确作出面面角．