Question

已知，．

（Ⅰ）设，求函数的图像在处的切线方程；

（Ⅱ）求证：对任意的恒成立；

（Ⅲ）若，且，求证：．

Answer 1

解：（1），，则 ，∴图像在处的切线方程为即    

（2）令，       

则

∵与同号  ∴  ∴

∴  ∴在单调递增                               

又，∴当时，；当时，

∴在单调递减，在单调递增  ∴

∴  即对任意的恒成立                   

（3）由（2）知                                           

  则           

                    

  由柯西不等式得

  ∴                                  

  同理  

  三个不等式相加即得证。