题目内容
在锐角三角形ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，
a=2csinA，
（1）求角C；
（2）若C=
，求三角形ABC周长取值范围．
| 3 |
（1）求角C；
（2）若C=
| 3 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（1）把已知等式中的边转化为角的正弦，化简求得sinC．进而求得C．
（2）利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，进而用角的正弦表示出a和b，代入三角形周长公式，利用A的范围确定L的范围．
（2）利用正弦定理求得三角形外接圆的半径，进而用角的正弦表示出a和b，代入三角形周长公式，利用A的范围确定L的范围．
解答：
解：（1）∵
a=2csinA，
∴
sinA=2sinCsinA，
∴sinC=
，
∵三角形为锐角，
∴C=
．
（2）∵C=
，
∴
=
=2R=2，
∴周长L=a+b+c=2(sinA+sinB)+
=2[sinA+sin(
-A)]+
=2
sin(A+
)+
，
∵三角形为锐角三角形，
∴由
，得
＜A＜
，
∴
＜A+
＜
，
∴L∈(3+
，3
]
| 3 |
∴
| 3 |
∴sinC=
| ||
| 2 |
∵三角形为锐角，
∴C=
| π |
| 3 |
（2）∵C=
| 3 |
∴
| b |
| sinB |
| a |
| sinA |
∴周长L=a+b+c=2(sinA+sinB)+
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
∵三角形为锐角三角形，
∴由
|
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴L∈(3+
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了正弦定理的运用，三角函数图象与性质．综合性较强．
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