Question

在数列中，若（，，为常数），则称为数列．
（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；
（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；
（3）若数列满足，，，设数列的前项和为．是否存在
正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；
若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）；；；．（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；（3）.

试题分析：（1）由是数列，，，有，根据定义可知,，从而写出满足条件的数列的前项；（2）先证必要性，设数列是等比数列，（为公比且），由定义（为与无关的常数），则；再证充分性，若一个等比数列的公比，则， ，所以 为数列；若一个等比数列的公比，则，，所以得证.（3）先利用题中所给条件表示出 ，假设存在正整数使不等式对一切都成立．即，当时，，又为正整数，．接着证明对一切都成立．利用进行裂项相消.
试题解析：（1）由是数列，，，有，  
于是,
所有满足条件的数列的前项为：
；；；．    4分
（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则
，若为数列，则有
（为与无关的常数）
所以，或．                           2分
（充分性）若一个等比数列的公比，则， ，所
以 为数列；
若一个等比数列的公比，则，
，
所以为数列．                                     4分
（3）因数列中，则
，
所以数列的前项和 1分
假设存在正整数使不等式对一
切都成立．即
当时，，又为正整数，
．                                           3分
下面证明：对一切都成立．
由于
所以
5分