Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F₂，以F₂为圆心，F₂O为半径的圆与椭圆的右准线相交，则椭圆的离心率的取值范围为

(

2

2

，1)

．

Answer 1

分析：根据题意，右焦点F₂到右准线的距离小于圆的半径F₂O，进而可得不等式

a2

c

-c＜c，然后将此不等式变形，即可求得离心率e的范围，最后结合椭圆的离心率小于1，综合可得答案．

解答：解：∵以F₂为圆心，F₂O为半径的圆与椭圆的右准线相交，
∴

a2

c

-c＜c⇒a²-c²＜c²⇒a²＜2c²
两边都除以a²，得1＜2(

c

a

)2=2e2
∴e＞

2

2

∵椭圆的离心率e＜1
∴e的范围是（

2

2

，1）
故答案为：(

2

2

，1)

点评：本题给出椭圆的右焦点为圆心，半径为c的圆与椭圆右准线相交，通过求椭圆的离心率的取值范围，着重考查了椭圆的基本概念和不等式的基本性质，属于中档题．