Question

11．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$，离心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．直线l：x=my+1与x轴交于点A，与椭圆C相交于E，F两点．自点E，F分别向直线x=3作垂线，垂足分别为E₁，F₁．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记△AEE₁，△AE₁F₁，△AFF₁的面积分别为S₁，S₂，S₃，试证明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，椭圆的离心率公式即可求得a的值，求得椭圆方程及焦点坐标；
（Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及三角形的面积公式，求得S₁S₃及S₃²，即可证明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$为定值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知b=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{2}{3}$．
解得：a²=3．即$a=\sqrt{3}$．
∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{2}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，焦点坐标为$（±\sqrt{2}，0）$．…（4分）
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，整理得（m²+3）y²+2my-2=0，显然m∈R，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$，E₁（3，y₁），F₁（3，y₂），
∵${S_1}{S_3}=\frac{1}{2}（3-{x_1}）|{y_1}|•\frac{1}{2}（3-{x_2}）|{y_2}|$=$\frac{1}{4}（2-m{y_1}）（2-m{y_2}）|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}[4-2m（{y_1}+{y_2}）+{m^2}{y_1}{y_2}]|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}（4-2m•\frac{-2m}{{{m^2}+3}}+{m^2}•\frac{-2}{{{m^2}+3}}）|{\frac{-2}{{{m^2}+3}}}|$=$\frac{{3（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}$，
又∵${S_2}^2={[\frac{1}{2}×2|{{y_1}-{y_2}}|]^2}$=${（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}$，
=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}+3）^{2}}$+$\frac{8}{{m}^{2}+3}$，
=$\frac{4{m}^{2}+8{m}^{2}+24}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{12{m}^{2}+24}{（{m}^{2}+3）^{2}}$．
∴$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}=\frac{{\frac{{3（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}}}{{\frac{{12（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}}}=\frac{1}{4}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．