Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（Ⅰ）证明：OE∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求异面直线AB₁与A₁C所成的角；
（Ⅲ）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）证明OE∥AC₁，然后证明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）先证明A₁C⊥B₁C₁．再证明A₁C⊥平面AB₁C₁，推出异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．
（Ⅲ） 设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，通过，求出A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．
解法二：如图建系O-xyz，求出A，A₁，E，C₁，B₁，C的坐标
（Ⅰ）通过计算，证明OE∥AC₁，然后证明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）通过，证明AB₁⊥A₁C，推出异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．
（Ⅲ）设A₁C₁与平面AA₁B₁所成角为θ，设平面AA₁B₁的一个法向量是利用推出，通过，求出A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．
解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵点O、E分别是A₁C₁、AA₁的中点，
∴OE∥AC₁，又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁．（4分）
（Ⅱ）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁．（6分）
又∵AA₁=AC，∴四边形A₁C₁CA为菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C，即异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ） 设点C₁到平面AA₁B₁的距离为d，∵，
即•d．（10分）
又∵在△AA₁B₁中，，∴S_△AA₁B₁=．
∴，∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．（12分）
解法二：如图建系O-xyz，，，C₁（0，1，0），B₁（2，1，0），．（2分）
（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC₁，
又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，∴OE∥平面AB₁C₁．（6分）
（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB₁⊥A₁C，
∴异面直线AB₁与A₁C所成的角为90°．（8分）
（Ⅲ）设A₁C₁与平面AA₁B₁所成角为θ，∵，
设平面AA₁B₁的一个法向量是
则即
不妨令x=1，可得，（10分）
∴，
∴A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．（12分）
点评：本题考查直线与平面平行，异面直线所成的角，直线与平面所成的角的求法，考查空间想象能力，计算能力．