Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.

（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；

（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由的面积是的面积的，可知C是AP的中点，利用点C在椭圆上明确P点坐标，从而得到直线的方程；（2）直线PB的方程为代入椭圆方程可得：，利用韦达定理可得M点坐标，进而可知为定值.

（1）由O为线段AB的中点可知：B到直线AP的距离是O到直线AP的距离的两倍，

又的面积是的面积的，所以C是AP的中点.

设P（t＞0），又A则

∵C点在椭圆上

∴

∴，即P

∴直线的方程：

即直线的方程为

（2）直线PB的方程为：，即

代入椭圆方程可得：，

则，又

∴，

∴，而

∴

即为定值.