题目内容

已知函数f（x）=x+
1
x
．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在（0，1]上的单调性并加以证明；
（3）求f（x）的值域．
（1）因为函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
所以f（-x）=-x-
1
x
=-（x+
1
x
）=-f（x）奇函数）  …（3分）
（2）f（x）在（0，1]上的单调递减
设0＜x1＜x2≤1，
则0＜x1x2＜1，x1-x2＜0
∴f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
x1
-
1
x2
)=(x1-x2)+(
x2-x1
x1x2
)=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
＞0
即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，1]上的是单调递减函数…（8分）
（3）由（2）同理可证f（x）在[1，+∞）上的是单调递增函数，
又f（x）在（0，1]上的是单调递减函数，
∴x＞0时，f（x）min=f（1）=2．
而f（x）为奇函数，其图象关于原点对称
∴x＜0时，f（x）max=f（-1）=-2．
所以函数f（x）的值域为（-∞，-2]∪[2，+∞）．…（12分）
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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