题目内容
13．设复数z=（x-1）+（y-$\sqrt{3}$）i，（x，y∈R），若|z|≤2，则y≤$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的概率为（ ）| A． | $\frac{1}{3}-\frac{3}{4π}$ | B． | $\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{4π}$ | C． | $\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4π}$ | D． | $\frac{1}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4π}$ |
分析 首先由题意画出图形，分别求出圆的面积以及满足y≤$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的区域面积，利用几何概型的概率公式解答．
解答 
解：由|z|≤2，得到（x-1）2+（y-$\sqrt{3}$）2≤4，对应的图形为以（1，$\sqrt{3}$）为圆心，2为半径的圆，面积为4π；满足如y≤$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x的是图中阴影部分，面积为$\frac{1}{3}•4π-\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$，如图
所以所求概率为$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{圆}}$=$\frac{\frac{1}{3}•4π-\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•1}{4π}$=$\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4π}$；
故选：D．
点评 本题考查了几何概型的概率求法；关键是正确画出图形，利用面积比求概率．
练习册系列答案
相关题目
1．
在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：
（1）画出散点图；
（2）利用所给的参考公式，求y对x的回归直线方程；
（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
参考公式：
1．样本数据x1，x2，…xn的标准差
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{{x}_{1}-\overline{x}）}^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$为样本的平均数；
2．线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
在物理实验中，为了研究所挂物体的重量x对弹簧长度y的影响．某学生通过实验测量得到物体的重量与弹簧长度的对比表：| 物体重量（单位g） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 弹簧长度（单位cm） | 1.5 | 3 | 4 | 5 | 6.5 |
（2）利用所给的参考公式，求y对x的回归直线方程；
（3）预测所挂物体重量为8g时的弹簧长度．
参考公式：
1．样本数据x1，x2，…xn的标准差
s=$\sqrt{\frac{1}{n}[（{{x}_{1}-\overline{x}）}^{2}+（{x}_{2}-\overline{x}）^{2}+…+（{x}_{n}-\overline{x}）^{2}]}$，其中$\overline{x}$为样本的平均数；
2．线性回归方程系数公式$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n•\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．
18．
双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为m，记函数y=x2与y=mx的图象所围成的阴影部分的面积为S（如图所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（ ）
双曲线：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的离心率为m，记函数y=x2与y=mx的图象所围成的阴影部分的面积为S（如图所示），任取x∈[0，2]，y∈[0，4]，则点（x，y）恰好落在阴影区域内的概率为（ ）| A． | $\frac{17}{96}$ | B． | $\frac{5}{32}$ | C． | $\frac{1}{6}$ | D． | $\frac{7}{48}$ |
5．国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0，3]．若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’”进行统计，得到如下2×2列联表．
（Ⅰ）请根据题目信息，将2×2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 运动时间 性别 | 运动达人 | 非运动达人 | 合计 |
| 男生 | 36 | ||
| 女生 | 26 | ||
| 合计 | 100 |
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）及方差D（X）．
附表及公式：
| P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |