Question

8．设F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，则双曲线C的离心率是2．

Answer 1

分析 由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，则另一渐近线OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，由垂直的条件可得FA的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．

解答 解：由题意得右焦点F（c，0），
设一渐近线OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则另一渐近线OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
由FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得A的横坐标为$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），联立方程y=-$\frac{b}{a}$x，
可得B的横坐标为$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
由2$\overrightarrow{FA}$=$\overrightarrow{FB}$，
可得2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）=$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$-c，
即为$\frac{2{a}^{2}}{c}$-c=$\frac{c{a}^{2}}{2{a}^{2}-{c}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得$\frac{2}{{e}^{2}}$-1=$\frac{1}{2-{e}^{2}}$，
即有e⁴-5e²+4=0，解得e²=4或1（舍去），
即为e=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求离心率，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．