Question

17．已知各项均为正数的数列{a_n}满足（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{2}^{n}}$，是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
（3）令c_n=$\frac{（n+1）^{2}+1}{n（n+1）{a}_{n+2}}$，记数列{c_n}的前n项和为S_n，其中n∈N^*，证明：$\frac{5}{16}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由 （a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，化简可得数列{a_n}是公比为2的等比数列，由a₂+a₄=2a₃+4，求出首项，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项，利用b₁，b_m，b_n成等比数列，求得正整数m、n（1＜m＜n），即可得出结论；
（3）由数列c_n=$\frac{（n+1）^{2}+1}{n（n+1）{a}_{n+2}}$为正项数列，故n=1时，S_n取最小值$\frac{5}{16}$，利用放缩法，求出S_n的最大值，可得答案．

解答 解：（1）由（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
且a_n＞0，?
有2a_n-a_n+1=0，即2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列，?
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2．
从而数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{n{a}_{n}}{（2n+1）•{2}^{n}}$=$\frac{n}{2n+1}$，
若b₁，b_m，b_n成等比数列，则（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$•$\frac{n}{2n+1}$，
当m=2，n=12，使得b₁，b_m，b_n成等比数列；
（3）证明：c_n=$\frac{（n+1）^{2}+1}{n（n+1）{a}_{n+2}}$=$\frac{（n+1）^{2}+1}{n（n+1）•{2}^{n+2}}$＞0，
∴当n=1时，S_n取最小值$\frac{5}{16}$，
当n≥2时，n²＞2，即有c_n=$\frac{（n+1）^{2}+1}{n（n+1）•{2}^{n+2}}$＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n＜$\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}$，
故$\frac{5}{16}$≤S_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是数列的通项公式，数列求和，是数列与不等式的综合应用，综合性强，运算难度大，属于难题．