题目内容

已知函数f（x）满足2f（x）+f（ $数学公式$ ）=x
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=3f（x）+ $数学公式$ ，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，求实数的取值范围．

解：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，∴f（1）= $\text{[math]}$ ．
（2）∵2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）=x，用 $\text{[math]}$ 替换得 f（x）+2f（ $\text{[math]}$ ）=x，解得f（x）= $\text{[math]}$ ．
（3）g（x）=3f（x）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2x+ $\text{[math]}$ ，∴g′（x）=2- $\text{[math]}$ ，
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，∴g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即 2- $\text{[math]}$ ≤0，
∴a≥2x²+1 而 x∈（0，2]，则 2x²+1∈（0，9]，∴a≥9，
∴实数的取值范围为[0，9）．
分析：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，从而求得 f（1 ）的值．
（2）由2f（x）+f（ $\text{[math]}$ ）=x，用 $\text{[math]}$ 替换得 f（x）+2f（ $\text{[math]}$ ）=x，解方程求得f（x）的解析式．
（3）根据g（x）的解析式求出它的导数g′（x），由g′（x）≤0 在区间（0，2]上恒成立，即 2- $\text{[math]}$ ≤0，
得到 a≥2x²+1，x∈（0，2]，从而得到2x²+1∈（0，9]，故a≥9．
点评：本题考查求函数的解析式的方法，利用导数判断函数的单调性，求函数的最值，求得 a≥2x²+1 且 x∈（0，2]，
是解题的难点．