题目内容

设数列{an}满足a1=0，4an+1=4an+2
4an+1
+1，令bn=
4an+1
．
（1）试判断数列{bn}是否为等差数列？并求数列{bn}的通项公式；
（2）令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
，是否存在实数a，使得不等式Tn
bn+1
＜
2
log2(a+1)对一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）比较bnbn+1与bn+1bn的大小．
（1）由已知得an+1+
1
4
=(an+
1
4
)+
an+
1
4
+
1
4
，
即4an+1+1=4an+1+2
4an+1
+1，（2分）
所以bn+12=bn2+2bn+1，即bn+1=bn+1，
又b1=1，所以数列{bn}为等差数列，
通项公式为bn=n（n∈N*）．
（2）令cn=Tn
bn+1
，
由Tn=
b1×b3×b5××b(2n-1)
b2×b4×b6×b2n
，
得
cn+1
cn
=
1×3×5××(2n+1)
2×4×6××(2n+2)
n+2
1×3×5××(2n-1)
2×4×6××2n
n+1
=
2n+1
2n+2
×
n+2
n+1

=
(n+2)(2n+1)2
(2n+2)2(n+1)
=
4n3+12n2+9n+2
4n3+12n2+12n+4
＜1
所以，数列{cn}为单调递减数列，（8分）
所以数列{cn}的最大项为c1=
2
2
，
若不等式Tn
bn+1
＜
2
log2(a+1)对一切n∈N*都成立，只需
2
2
＜
2
log2(a+1)，
解得a＞
2
-1，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范围为(
2
-1，1)∪(1，+∞)．（12分）
（3）问题可转化为比较nn+1与（n+1）n的大小．
设函数f(x)=
lnx
x
，所以f′(x)=
1-lnx
x2
．
当0＜x＜e时，f'（x）＞0；
当x＞e时，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上为增函数；在（e，+∞）上为减函数．
当n=1，2时，显然有nn+1＜（n+1）n，
当n≥3时，f（n）＞f（n+1），即
lnn
n
＞
ln(n+1)
n+1
，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnn+1＞ln（n+1）n，
所以nn+1＞（n+1）n．
综上：当n=1，2时，nn+1＜（n+1）n，即bnbn+1＜bn+1bn；
当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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