Question

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-），离心率为
（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点可求b，由离心率为可得a，c的关系，结合a²=b²+c²，可求a，b，c进而可求椭圆的方程
（2）由（1）可得椭圆方程，联立方程整理可得，2y²-2my+m²-5=0，由直线与椭圆相交于A、B两点，可得△=4m²-8（m²-5）＞0，及，而以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积可求
解答：解：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：（a＞b＞0）
∵椭圆的一个顶点是∴
∵离心率为
∵a²=b²+c²，∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程：
（2）椭圆方程：
∴左右焦点为，，
联立方程整理可得，2y²-2my+m²-5=0
∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m²-8（m²-5）＞0，即：，且
由题知：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积=×=
点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式|的应用．