Question

函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

的性质，并在此基础上填写下表，作出f（x）在区间[-π，2π]上的图象．

性质	理由	结论	得分
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
对称性
作图

Answer 1

分析：由正弦函数的最大最小值，可得函数的定义域为R；由平方法结合余弦函数的有界性，得到函数的值域为[

2

，2]；由函数周期性的定义加以验证，得到函数的最小正周期为π；讨论函数在区间[0，π]上的单调性，结合函数的周期可得函数在R上的单调区间；最后根据函数奇偶性的定义和轴对称的有关公式，算出f（x）在其定义域上为偶函数，图象关于直线x=

kπ

2

对称．由此即可得到本题的答案．

解答：解：∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立
∴函数的定义域为R；
∵f2(x)=(

1-sinx

+

1+sinx

)2=2+2|cosx|
∴由|cosx|∈[0，1]，f²（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[

2

，2]；
∵f(x+π)=

1+sinx

+

1-sinx

=f（x）
∴函数的最小正周期为π
∵当x∈[0，

π

2

]时，f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

=2cos

x

2

，在[0，

π

2

]上为减函数
当x∈[

π

2

，π]时，f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

=2sin

x

2

，在[

π

2

，π]上为增函数
∴f（x）在[kπ-

π

2

 ， kπ]上递增，在[kπ ， kπ+

π

2

]上递减（k∈Z）
∵f（-x）=f（x）且f(

π

2

-x)=f(

π

2

+x)，
∴f（x）在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=

kπ

2

对称
因此，可得如下表格：

性质	理由	结论	得分
定义域	-1≤sinx≤1	定义域R	1分
值域	y2=2+2|cosx|∈[2，4]	值域[ 2  ， 2]	2分
奇偶性	f（-x）=f（x）	偶函数	1分
周期性	f（x+π）=f（x）	周期T=π	2分
单调性	f(x)= 2cos x 2     x∈[0 ，  π 2 ] 2sin x 2     x∈[ π 2  ， π]	在[kπ- π 2  ， kπ]上递增， 在[kπ ， kπ+ π 2 ]上递减（k∈Z）	2分
对称性	f（-x）=f（x），f( π 2 -x)=f( π 2 +x)，…	关于直线x= kπ 2 对称（k∈Z）	2分
作图			2分

点评：本题给出根号下含有三角函数式的函数，求函数的单调性、周期性、奇偶性，并求函数的单调区间和值域．着重考查了三角函数的值域、正余弦函数的图象与性质和函数图象对称轴的求法等知识，属于中档题．