Question

已知，函数，．（的图象连续不断）

(1) 求的单调区间；

(2) 当时，证明：存在，使；

(3) 若存在属于区间的，且，使，证明：．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的单调增区间是，单调减区间是．

(Ⅱ)存在，使．

(Ⅲ)　．

【解析】

试题分析：(Ⅰ) ，．          2分

令，则．          3分

当变化时，，的变化情况如下表：

　　

	单调递增	极大值	单调递减

所以的单调增区间是，单调减区间是．

.. ...4分

(Ⅱ) 当时，，

由(Ⅰ)知，在单调递增，在单调递减．        5分

令．          ...6分

由于在单调递增，则，因而．     7分

取，则，          ...8分

所以存在，使，即存在，使．   9分

(Ⅲ) 由及的单调性知．    10分

从而在区间上的最小值为．又由，，则　

．      11分

所以     12分

即          13分

所以　　　．          14分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式证明问题，不等式的解法。

点评：难题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。本题采用“表解法”，清晰明了。涉及不等式证明问题，往往要转化成研究函数的最值，通过构建a的不等式组，求得a的范围。本题涉及对数函数，要注意函数的定义域。