Question

已知E、F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱BB₁、AD的中点，则直线EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：连接BD、AE，过F作FH⊥BD交BD于H，连接EH，根据面面垂直的判定与性质，可得FH⊥平面BB₁D₁D，因此∠FEH是直线EF和平面BDB₁D₁所成的角．设正方体的棱长为2，结合题设可得Rt△EFH中，EF=且FH=，由此结合直角三角形正弦的定义，可算出直线EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值．
解答：连接BD，AE，过F作FH⊥BD交BD于H，连接EH
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，BB₁?平面BB₁D₁D
∴平面BB₁D₁D⊥平面ABCD，
∵平面BB₁D₁D∩平面ABCD=BD，FH?平面ABCD，FH⊥BD
∴FH⊥平面BB₁D₁D，
因此，直线EH是直线EF在平面内的射影，得∠FEH是直线EF和平面BDB₁D₁所成的角
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∵E、F分别是BB₁、AD的中点，
∴Rt△DFH中，DF=1，∠FDH=45°，可得FH=DF=
Rt△AEF中，AF=1，AE==，可得EF==，
在Rt△EFH中，sin∠FEH==，即直线EF和平面BDB₁D₁所成的角的正弦值是
故选B．
点评：本题在正方体中求直线与平面所成角，着重考查了正方体的性质和直线与平面所成角的大小求法等知识，属于中档题．