题目内容
【题目】如图，椭圆
： 
的焦距与椭圆
： 
的短轴长相等，且
与
的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为
，直线
经过
在
轴正半轴上的顶点
且与直线
（
为坐标原点）垂直， 
与
的另一个交点为
， 
与
交于
， 
两点.
（1）求
的标准方程；
（2）求
.
【答案】（1）
.（2）
.
【解析】试题分析：（1）由椭圆
： 
（
）的焦距与椭圆
： 
的短轴长相等，且
与
的长轴长相等，可得
，所以
，从而可得
的标准方程；（2）联立两椭圆方程可得
点坐标，利用垂直关系可得
的斜率，由点斜式可得
的方程为
，直线方程分别与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式分别求出
、
，从而可得结果.
试题解析：（1）由题意可得
所以
故
的标准方程为
．
（2）联立
得
∴
，∴
，
易知
，∴ 
的方程为
．
联立
得
，∴ 
或
，
∴
，
联立
得
，
设
， 
，则
， 
，
∴
，
故
．
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