Question

15．己知等差数列{a_n}满足a₁=1，a₄=7．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{3}$≤T_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出；
（II）${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可证明右边；利用单调性即可证明左边．

解答 解：（I）设{a_n}的公差为d，a₁=1，b₄=1+3d=7，
∴d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（II）${c_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∵n∈N^*，∴${T_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$；
${T_n}-{T_{n-1}}=\frac{n}{2n+1}-\frac{n-1}{2n-1}=\frac{1}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}＞0$，
∴数列{T_n}是一个递增数列，
∴${T_n}≥{T_1}=\frac{1}{3}$．
综上所述，$\frac{1}{3}≤{T_n}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．