Question

【题目】设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知

(1)求角B的大小；

(2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值.

Answer 1

【答案】（1）B（2）α时，四边形PMBN的面积取得最大值．

【解析】

（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A＝B或A+B． 由于C，即可得出．

（2）由题设，在Rt△PMB中，PM＝2sinα；PN＝2cosα,得其面积；在Rt△PNB中，同理可得PN＝2sin（α），PM＝2cos（α）,α∈（0，）得其面积，进而得四边形面积，利用恒等变换结合三角函数最值即可得出．

（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，

即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），

∴有A＝B或A+B．

又∵C，得A+B，与A+B矛盾，

∴A＝B，因此B．

（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM＝PBsin∠PBM＝2sinα；PN＝PBcos∠PBM＝2cosα,则

同理，在Rt△PNB中，PN＝PBsin∠PBN＝PBsin（∠PBA）＝2sin（α），PM＝2cos（α）α∈（0，），

∴四边形PMBN的面积

∵α∈（0，），∴2α∈（，），

于是，当2α，即α时，四边形PMBN的面积取得最大值．