题目内容

某种空气清洁剂在实验效果时，发现空气含剂量y（μg/m³）与时间x之间存在函数关系，其变化的图象如下图所示．其中的曲线部分是某函数 $数学公式$ （x+b）的图象（虚线部分为曲线的延展）．图中表明，喷洒1小时后，空气含剂量最高，达到3μg/m³，以后逐步减小．
（1）求出空气含剂量y关于时间x的函数表达式及定义域．
（2）实验证明，当空气含剂量不低于2μg/m³时，空气清洁的效果最佳．求一次喷洒的“最佳效果”持续时间．

解：（1）当x≤1时，图象是一线段，得解析式为y=kx，将点（1，3）坐标代入得k=3，∴y=3x
把（1，3）坐标代入 $\text{[math]}$ （x+b）得．
$\text{[math]}$ =3，∴1+b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∴y= $\text{[math]}$
∴，令y=0得x= $\text{[math]}$
∴函数的解析式为：y= $\text{[math]}$
（2）当0≤x≤1时，在y=3x中令y=2得x₁= $\text{[math]}$ ，
当1≤x≤ $\text{[math]}$ 时，在y= $\text{[math]}$
中，令y=2得： $\text{[math]}$ =2，得x₂= $\text{[math]}$
x=x2-x1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故最佳效果持续时间为 $\text{[math]}$ 小时．
分析：将点（1，3）分别代入y=kx， $\text{[math]}$ （x+b）中，求k、b，确定函数关系式，再把y=2代入两个函数式中求t，把所求两个时间t作差即可．
点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想，属于基础题．解决实际问题关键是建立数学模型．

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