Question

如图所示，直棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2．

(1)求证：AC⊥平面BB₁C₁C；

(2)在A₁B₁上是否存一点P，使得DP与平面ACB₁平行？证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC；2分 　　又∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2 　　∴AC＝，∠CAB＝45°，∴BC＝，∴BC⊥AC；5分 　　又BB1∩BC＝B；∴AC⊥平面BB1C1C．6分 　　(2)存在点P，P为A1B1的中点可满足要求．7分 　　证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1＝AB；8分 　　又∵CD∥AB，CD＝AB，∴CD∥PB1，且CD＝PB1， 　　∴CDPB1为平行四边形，∴DP∥CB1；10分 　　又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1；12分