Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁=6，底面三角形的边AB=3，BC=4，AC=5．以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱后得一个组合体．
（1）画出按图示方向组合体的三视图（要求标出尺寸）；
（2）求组合体的体积和表面积．

Answer 1

分析：（1）按图示方向能作出组合体的三视图．
（2）由AC²=AB²+BC²，知△ABC为直角三角形，设△ABC内切圆半径为R，则

R

2

(3+4+5)=

1

2

×3×4，解得R=1，由此能求出组合体的体积和表面积．

解答：解：（1）按图示方向作出组合体的三视图为：
（2）由已知AC²=AB²+BC²，
∴△ABC为直角三角形，…（2分）
设△ABC内切圆半径为R，
则有

R

2

(3+4+5)=

1

2

×3×4，
∴R=1…（4分）
∵直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V棱柱=S△ABC•AA1=

1

2

×3×4×6=36，…（6分）
内切圆为底面的圆柱体积V圆柱=πR²•AA₁=6π，…（8分）
∴剩余部分形成的几何体的体积V=V棱柱-V圆柱=36-6π，…（10分）S直三棱柱表面=18+30+24+2×

1

2

×3×4=84；
S圆柱侧=2π×1×6=12π；
S组合体表=84+12π-2π=84+10π…（12分）

点评：本题考查组合体的三视图的画法，考查组合体的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答．