Question

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底, )

(1) 求的解析式;

(2) 设，求证：当，时，；

（3）是否存在负数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

,存在负数

解析:

解：（1）设，则，所以

又因为是定义在上的奇函数，所以 

故函数的解析式为  

（2）证明：当且时，，设

因为，所以当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，所以

  又因为，所以当时，，此时单调递减，

所以

所以当时，即 

（3）解：假设存在负数，使得当时，有最小值是3，则

①当，由于，则，

故函数 是上的增函数．

所以，解得（舍去）

②当时，则

当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得满足题意。

综上可知，存在负数，使得当时，有最小值３