Question

已知函数g（x）=log₂（1-x），u（x）=log₂（1+x），f（x）=g（x）-u（x）
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）根据对数函数的性质即可，求实数k的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=g（x）-u（x）=log₂（1-x）-log₂（1+x），
由

1-x＞0 1+x＞0

，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1），
f（-x）=log₂（1+x）-log₂（1-x）=-[log₂（1-x）-log₂（1+x）]=-f（x），
则f（x）是奇函数．
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，等价为

1-x

1+x

=x-k，
即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）内有解，
设y=x-

1-x

1+x

，则y=x+1-

2

1+x

，
设t=1+x，则t∈（0，2），
∵y=t-

2

t

在t∈（0，2）内单调递增，则y＜1，
∴k＜1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及对数函数的性质的应用．