Question

19．已知数列{a_n}的各项都是正数，a₁=1，对任意的k∈N^*，a_2k-1、a_2k、a_2k+1成等比数列，公比为q_k；a_2k、a_2k+1、a_2k+2成等差数列，公差为d_k，且d₁=2，则数列{d_k}的通项公式为（　　）

• A． $\frac{k+1}{k}$
• B． k+1
• C． $\frac{k+3}{2}$
• D． $\frac{k}{k+1}$

Answer 1

分析 由a_2k-1，a_2k，a_2k+1 成公比为q_k 的等比数列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3 成公比为q_k+1 的等比数列，可得：a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1，又 a_2k，a_2k+1，a_2k+2 成等差数列，可得 2a_2k+1=a_2k+a_2k+2． 可得：$\frac{1}{{{q_k}-1}}=k$，${q_k}=\frac{k+1}{k}$．$\frac{{{a_{2k+1}}}}{{{a_{2k-1}}}}={（{\frac{k+1}{k}}）^2}$，利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵a_2k-1，a_2k，a_2k+1 成公比为q_k 的等比数列，a_2k+1，a_2k+2，a_2k+3 成公比为q_k+1 的等比数列，
∴a_2k+1=a_2kq_k，a_2k+2=a_2k+1q_k+1，
又∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2 成等差数列，∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2．
又a₁＞0，d=2，可求得：q₁=2，$\frac{1}{{{q_1}-1}}=1$，∴$\frac{1}{{{q_k}-1}}=k$，${q_k}=\frac{k+1}{k}$．$\frac{{{a_{2k+1}}}}{{{a_{2k-1}}}}={（{\frac{k+1}{k}}）^2}$，
∴${a_{2k+1}}=\frac{{{a_{2k+1}}}}{{{a_{2k-1}}}}•\frac{{{a_{2k-1}}}}{{{a_{2k-3}}}}…\frac{a_3}{a_1}•{a_1}={（{\frac{k+1}{k}}）^2}•{（{\frac{k}{k-1}}）^2}…{（{\frac{2}{1}}）^2}•1={（{k+1}）^2}$，${a_{2k}}=\frac{{{a_{2k+1}}}}{q_k}=k（{k+1}）$，
∴d_k=a_2k+1-a_2k=k+1．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系、“累乘求积”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．