Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，则a₃的所有可能取值的和为12．

Answer 1

分析 运用当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1．化简整理，可得a_n-a_n-1=4或a_n=-a_n-1，运用等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到所求和．

解答 解：当n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{8}$（a₁+2）²，
解得a₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²-$\frac{1}{8}$（a_n-1+2）²，
即为（a_n-2）²=（a_n-1+2）²，
可得a_n-a_n-1=4或a_n=-a_n-1，
可得a₃=a₁+8=10，或a₃=2，
则a₃的所有可能取值的和为12．
故答案为：12．

点评 本题考查数列的通项与求和的关系，注意运用结论：当n=1时，a₁=S₁；当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1．考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．