Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=12,S₁₂＞0,S₁₃＜0.

(1)求公差d的取值范围；（2）指出S₁,S₂,…,S₁₂中哪一个值最大？并说明理由.

Answer 1

答案：
解析：

（1）分析：由S12＞0，S13＜0列不等式组求之. 解：依题设有 即将a3=12,即a1=12－2d代入上式得 解得－＜d＜－3 (2)分析一：写出Sn的表达式Sn=f(n)=An2+Bn.配方确定Sn的最大值. 解法一：Sn=na1+d =n(12－2d)+(n－1)d = ∵d＜0,∴[n－ (5－最小时，Sn最大. 当－＜d＜－3时， 6＜(5－)＜6.5, ∴正整数n=6时， [n－ (5－)]2y最小， ∴S6最大. 分析二 ：由d＜0，知{an}是单调递减的，要使Sn最大，应有an≥0,an+1＜0. 解法二：由d＜0,可知a1＞a2＞…＞a12＞a13 ∴要使1≤n≤12中存在自然数n，使得an＞0,an+1＜0，则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由，知a6+a7＞0,a7＜0 ∴a6＞－a7＞0,∵a6＞0,a7＜0. 故在S1,S2,…,S12中S6的值最大. 解法三：由S12＞0，S13＜0， 得, 即 也即a6＞0且a 7＜0,∴S6最大. 解法四：由a1=12－2d,－＜d＜－3， 得, 即5.5＜n＜7 ∵n∈N*,∴n=6,即S6最大.