题目内容
17.如图，在直三棱柱ABO－A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝90°.D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点.若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
17.［解法一］如图，以O点为原点建立空间直角坐标系.
由题意，有B（3，0，0），D（
，2，4）.
设P（3，0，z），则
＝｛－
，2，4｝，
＝｛3，0，z｝.
∵BD⊥OP，∴
·
＝－
＋4z＝0.
z＝
∵BB′⊥平面AOB，∴∠POB是OP与底面AOB所成的角.
tanPOB＝
，∴∠POB＝arctan
.
［解法二］取O′B′中点E，连结DE、BE，则：
DE⊥平面OBB′O′，
∴BE是BD在平面OBB′O′内的射影.
又∵OP⊥BD.
由三垂线定理的逆定理，得OP⊥BE.
在矩形OBB′O′中，易得Rt△OBP∽Rt△BB′E
∴
＝
，得BP＝
.
（以下同解法一）.
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