Question

6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B（2，0），动点C满足条件：△ABC的周长为10，记动点C的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）若直线l与曲线M相交于E、F两点，若以EF为直径的圆过点D（3，0），求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的定义可知曲线M为椭圆，利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）对直线l是否有斜率进行讨论，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用DE⊥DF得出E，F的坐标的关系，化简即可得出直线的定点坐标．

解答 解：（1）∵△ABC的周长为10，AB=4，
∴CA+CB=6，
∴动点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，
设曲线M的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=$\sqrt{5}$．
∴曲线M的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）当直线l无斜率时，设直线方程为x=p（-3＜p＜3）．
把x=p代入椭圆方程得$\frac{{p}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$，∴y=±$\frac{\sqrt{45-5{p}^{2}}}{3}$，
∴以EF为直径的圆的方程为（x-p）²+y²=$\frac{45-5{p}^{2}}{9}$，
把D（3，0）代入圆的方程得p=3（舍）或p=$\frac{6}{7}$．
当直线有斜率时，设直线l的方程为y=mx+n，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，消元得：（9m²+5）x²+18mnx+9n²-45=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{18mn}{9{m}^{2}+5}$，x₁x₂=$\frac{9{n}^{2}-45}{9{m}^{2}+5}$．
∴y₁y₂=（mx₁+n）（mx₂+n）=m²x₁x₂+mn（x₁+x₂）+n²，
∵以EF为直径的圆过点D（3，0），∴DE⊥DF．
∵k_DE=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$，k_DF=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-3}$=-1，即y₁y₂+x₁x₂-3（x₁+x₂）+9=0，
∴（m²+1）•$\frac{9{n}^{2}-45}{9{m}^{2}+5}$-（mn-3）•$\frac{18mn}{9{m}^{2}+5}$+n²+9=0，
∴18m²+27mn+7n²=0，即18（$\frac{m}{n}$）²+27•$\frac{m}{n}$+7=0，解得$\frac{m}{n}$=-$\frac{1}{3}$或$\frac{m}{n}$=-$\frac{7}{6}$．
若$\frac{m}{n}$=-$\frac{1}{3}$，即n=-3m，则直线l的方程为y=mx-3m，故直线l过定点（3，0）．
若$\frac{m}{n}=-\frac{7}{6}$，即n=-$\frac{6}{7}$m，则直线l的方程为y=mx-$\frac{6}{7}$m，故直线l过定点（$\frac{6}{7}$，0）．
综上，直线l经过定点（$\frac{6}{7}$，0）．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．